相似三角形人教版的教学设计

导语：

　　3。 相似三角形的识别

　　(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

　　(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

　　(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

　　【典型例题】

　　例1。 如图，∠1=∠2=∠3，图中相似三角形有( )对。

　　答：4对

　　例2。 如图，已知：△ABC、△DEF，其中∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°，∠D=40°，∠E=60°，∠F=80°，能否分别将两个三角形分割成两个小三角形，使△ABC所分成的每个三角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似?

　　如果可能，请设计一种分割方案;若不能，说明理由。

　　解：

　　例3。 (广东省)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连结CF交AD于点E。

　　(1)求证：△CDE∽△FAE;

　　(2)当E是AD的中点，且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF。

　　命题意图：相似三角形的识别、特征在解题中的应用。

　　解析：由AB∥DC得：∠F=∠DCE，∠EAF=∠D

　　∴△CDE∽△FAE

　　，又E为AD中点

　　∴DE=AE，从而CD=FA，结合已知条件，易证

　　BF=BC，∠F=∠BCF

　　解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形

　　∴AB∥CD

　　∴∠F=∠DCE，∠EAF=∠D

　　∴△CDE∽△FAE

　　(2)∵E是AD中点，∴DE=AE

　　由(1)得：

　　∴CD=AF

　　∵四边形ABCD是平行四边形

　　∴AB=CD

　　∴AB=CD=AF

　　∴BF=2CD，又BC=2CD

　　∴BC=BF

　　∴∠F=∠BCF

　　思路探究：平行往往是证两个三角形相似的重要条件，利用比例线段也可证明两线段相等。

　　例4。 在梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，点P在线段AB上从A向B运动，

　　(1)是否存在一个时刻使△ADP∽△BCP;

　　(2)若AD=4，BC=6，AB=10，使△ADP∽△BCP，则AP的长度为多少?

　　解：(1)存在

　　(2)若△ADP∽△BCP，则

　　设

　　或

　　或

　　或

　　∴AP长度为4或6

　　例5。 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则 ( )

　　A。 4：10：25 B。 4：9：25

　　C。 2：3：5 D。 2：5：25

　　(黑龙江省中考题)

　　思路点拨：运用与面积相关知识，把面积比转化为线段比。

　　∴选A

　　例6。 如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。

　　思路点拨：要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形所有顶点应落在△ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出。

　　解：如图甲，设正方形EFGH边长为x，则AC=4

　　而CD×AB=AC×BC= ，得

　　又△CEH∽△CAB，得

　　于是 ，解得：

　　如图乙，设正方形CFGH的边长为y cm

　　由GH∥AC，得：

　　即 ，解得：

　　即应如图乙那样裁剪，这时正方形面积达最大，它的边长为

　　例7。 如图，已知直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，设 ， ，作DE⊥DC，DE交AB于点E，连结EC。

　　(1)试判断△DCE与△ADE、△DCE与△BCE是否分别一定相似?若相似，请加以证明。

　　(2)如果不一定相似，请指出a、b满足什么关系时，它们就能相似?

　　解：(1)△DCE与△ADE一定相似，△DCE与△BCE不一定相似，分别延长BA、CD交于F点

　　由△FAD∽△FBC，得：

　　于是FD=DC，从而可证△FED≌△CED

　　得∠AED=∠DEC

　　所以△DEC∽△AED

　　(2)作CG⊥AD交AD延长线于G，

　　由△AED∽△GDC，有 ，得

　　要使△DCE与△BCE相似，那么 一定成立

　　即 ，得

　　也就是当 时，△DCE与△BCE一定相似。

　　【模拟试题】(答题时间：40分钟)

　　1。 如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若 ，则AD：DB=____________。